По нескольку раз проверял сообщения в папках: как в "Общая", так и "Основная" все сообщения были прочитаны (просмотрены).

Решил, что всё дело в кэшировании данных (типа - закэшировалось приложение). Что нужно сделать? Нужно очистить кэш приложения Инстаграм. Для этого используем следующее.
Способ №1
1. Открываем в Настройках телефона "Все приложения".
2. Находим в списке Instagram. Открываем вкладку.
3. Клацаем на раздел "Память" (см. фото 👇🏻).

4. Здесь нужно нажать "Очистить" - "Очистить кэш".

5. Данные кэша удалены из приложения Инстаграм.

После этой очистки у меня исчезло напоминание о непрочитанном сообщении в инстаграме.
PS. Если вы очистите всё, то будут удалены все данные из памяти приложения. То есть, исчезнут также все пароли от всех аккаунтов.
Способ №2
Итак, снова случилась подобная ситуация в новом смартфоне Redmi Note 8 Pro. И первый способ удаления непрочитанного сообщения в инстаграме не помог. Сколько бы я не удалял кэш приложения - это не помогало. Даже с помощью специальных приложений и удаления Инстаграма с телефона. Кэш неизменно возвращался и сообщение висело и никуда не исчезало (целый месяц).
Потом (вдруг) просто решил попробовать удалить ту переписку, после которой (по моему предположению) возникла проблема с непрочитанным сообщением. Полностью удалил несколько предполагаемых переписок в директе. Проблема полностью исчезла.